矩阵可逆的充要条件是啥（线性代数中的二次型）

100次浏览发布时间：2024-08-08 11:32:59

线性代数中的二次型，实际上是特征值的几何应用，概念仍需加强理解

二次型:实际上是特征值的几何应用

1、二次型化标准形:特征值、特征向量、相似对角化

2、二次型的正定性

3、合同:坐标变换

正交变换化二次型为标准形，标准为求二次型矩阵 A 的特征值，求坐标变换就是求 A 的特征向量

图一

首先，我们肯定是要读题，通过题目来了解一些明显的信息

图二

这个是之前谈到过的概念了，二次型的方程可以直接得到二次型矩阵

化简方法为：xixj系数的一半位于矩阵的ij位置（i为第i行，j为第j列）

因为二次型的矩阵一定是实对称矩阵，所以也要将xixj系数的一半位于矩阵的ji位置（j为第j行，i为第i列），然后对角线的话也是按照这个规则来，那很明显，对角线就是11，22，33

因为秩为 2，所以可以得到 r(A)=2，再得到行列式为 0，因为根据已有条件可知道，当 n 阶行列式的秩小于 n 时，行列式的值为 0

所以得到 a=0

通过正交变换x=Qy，将f(x1,x2,x3)化为标准形

由第一小题a=0可以知道（将a代入到式子中去来求矩阵A的特征值）

这里过程不详细叙述了，行列式λE-A等于0，来求矩阵A的特征值

我直接计算出特征值为2和0

图三

由于特征向量已经两两正交，那么我们只需要单位化即可

图四

那么，经过正交变化x=Qy就可以得到

图五

由于f(x1,x2,x3)=0，那么我们就可以得到

图六

注意点:1、n 阶矩阵 A 的秩小于 n 时，那么 A 的行列式就等于 0，而行列式等于所有特征值的乘积，所以至少有一个特征值为 0

2、如果 n 阶矩阵 A 的秩小于 n 时，可以得到该矩阵不可逆，因为可逆矩阵的充要条件是行列式的值不为 0

3、正交变换：可以化二次型为标准型，就如我们前面用到的

图七

总的来说，线性代数需要记忆的概念还是比较多的，二次型化为标准形的时候，主要要借助到一些概念，例如矩阵的秩、特征值和特征向量等等，我对这块掌握还不够完善，仍需努力，加强理解！