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圆心角和圆周角区别（微专题---圆中角）

100次浏览     发布时间：2024-09-14 09:04:23    

角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形、相似三角形都要涉及角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．

与圆有关的角：

1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、圆周角：顶点在圆上，两条边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

※3、弦切角：顶点在圆上，一条边和圆相交，另一条边和圆相切的角叫做弦切角．

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．

根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等，可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来．

熟悉以下基本图形

注：（1）弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法．

（2）构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．

【问题解决】

直线AB与⊙O相交于A，B两点，点C在⊙O上，且∠BOC=40°，点E是直线AB上一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于另一点D，则使DE=DO的点总共有 个．

【思路分析】

作出图形，分类讨论.根据画图可知应分E在BA的延长线上、在线段AB上、在AB的延长线上三种情况来解决．

【图文解析】（观察动态演示）

当点E在BA的延长线上，如图：

设∠CEO=x°，

∵DE=DO，

∴∠DOE=∠CEO=x°，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC=2x°，

∵∠BOC=∠OCD+∠CEO，

∴2x+x=40，

当点E在线段AB上，如图：

设∠CDO=x°，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC=x°，

∵DE=DO，

∴∠DOE=∠DEO=（40+x）°，

由三角形内角和定理得：x+40+x+40+x=180，

当点E在AB的延长线上，如图：

设∠CEO=x°，

∵DE=DO，

∴∠DOE=∠CEO=x°，∠COD=（x-40）°

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD=（40+x）°，

由三角形内角和定理得：x-40+2（40+x）=180，

故答案为3.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及圆周角定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到三种情况.正确画出图形，灵活转化圆中角是解决本题的关键。

探究乐园：

1、如图，圆内接四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=90°，AD=3，CD=2，则BC= .

2、如图，ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD：∠ECD=3：2，那么∠BOD= °.

3、如图，已知四边形ABCD外接⊙O的的半径为5，对角线AC与BD的交点为E，且AB²=AE×AC，BD=8，求△ABD的面积.

4、如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.

（1）求证：FB=FC；

（2）求证：FB²=FA×FD；

（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长.

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